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[Si新書]本当は面白い数学の話

岡部恒治・本丸 諒:著者

確率がわかればイカサマを見抜ける? 紙を100回折ると宇宙の果てまで届く?

数学はつまらないから、私はいいや。そう思っていませんか?
けれど、そこに秘められた「考え方」、そして「使われ方」は、実に面白いものです。

本書では、それらを興味深い逸話や身近な例をまじえて、ご紹介します。
不思議な数の意昧から、公式の暗記よりずっと楽しい図形の見方、確率・統計を使って賢く生きる知恵、指数・対数と人のかかわり、微分・積分で可能になることまで。

「むずかしいもの、面倒なもの」を数学で「かんたんに解決」する世界をのぞいてみませんか。

■目次:
第1章 目に見えないものを見せる「数」の本質
第2章 「カバリエリの方法」で面積・体積を見ると様変わり!
第3章 世界を解明する? 方程式と因数分解の謎
第4章 確率と統計さえわかれば、イカサマや八百長も見抜ける
第5章 天文学者のコンピュータだった? 「指数と対数」
第6章 世界はサインカーブでできている!
第7章 微分・積分を知ると、「面積から静止衛星の軌道まで」計算できる?

-「はじめに」より-

2018年1月、「富士山の体積を量るアイデア募集」という広告を見かけました。
実は、筆者はその30年も前に、ある編集者から「標高1000m地点を裾野として、富士山の体積を計算してください」と頼まれたことがあったのです。
一見、かんたんそうですが、富士山は円すいのような計算しやすい形ではありませんから、途方にくれた記憶があります。

結局、高さ500 m ごとに等高線の形をトレースし、ゴムシートをその形に切り抜いて重さを量り、その重さから対応する等高線の囲む面積を算出し、体積計算の手がかりとしました。
この計算法は、いわば「面積・体積を重さに変換する」という方法です。
実は本書で紹介する、カバリエリの酒樽を輪切りにする計算法もこれと同じで、その少し先まで行くと、積分法まで見えてきます。

これと似たことが、最近、ツイッター上で話題になりました。
あるお客が大量の1円玉の入った袋をレストランのレジにもってきて、「数えろ!」と要求したというのです。
そこで店員さんが”神対応”。
その方法とは、1枚1枚数えず、「1円玉全部の重さを量って枚数を推定した」ということです。
1円玉は1枚1gですから、3kgなら3000枚です。

この店員さんのアイデアは、筆者が等高線の面積・体積を別のものに置き換えて算出した方法と、考え方が同じです。
数学というのは、本来、「むずかしいもの、面倒なものに関して、頭を使ってかんたんに解決できないものか?」と考えるための学問といえます。

最初の話で、「富士山の体積なんてわかっても、何の役にも立たない。だから数学は役立たない」と言う人がいますが、そうでしょうか。
大量の1円硬貨を出されて困ったとき、複雑な形状の物体の体積算出で途方にくれたとき、「輪切りにする手がある」「重さを量れば解決する!」と気づけば問題解決に大きく近づくことでしょう。

仕事や社会生活では、さまざまな難題に直面します。
そんなとき、ちょっと現実離れしているように見える「数学の思考法や論理」が大いに役立ち、思いもしない解決策につながることが多いのです。
数学は、賢く生きるための知恵、思考法だと言えるでしょう。(後略)

2018年2月 岡部恒治

定価:1,100円(本体1,000円+10%税)

書籍情報

  • 発売日:2018年3月16日(金)
  • ISBN:978-4-7973-9595-2
  • サイズ:新書/2色
  • ページ数:208
  • 付録:-
木の高さを測る

この方法は実際には相似を利用しているのですが、直角三角形で角度が45°の場合、「斜辺以外の2辺は等しい」というのは三角比の利用と言えます。この角度と辺の関係を利用すること、人が仰角45°となる地点まで移動することで、木の高さを測ることができるのです。

池に浮かぶ島までの距離を測る

直接測れないものとしては、下図のような池があって、中に島があるとき、そこまでの距離を測るという場合にも、三角比が役立ちます。この場合、池の岸A~B=100mであれば、島までの距離A~Cも100mです。また、岸D~E=90mであれば、D~Cは、90×√3=90×1.732=155.9で約156mと速算できます。

ターレスのピラミッド計測

ピラミッドに直角に太陽の光が差し込むときを利用すると、棒の長さと影の比、ピラミッドの高さとその影の比で求めることができます。一番かんたんなのは、「棒の長さ=棒の影の長さ」となるときを見計らって、ピラミッドの影の長さを測ることです。このような相似の考えを拡張したのが三角比なのです。

三角比だけでもさまざまな問題が解ける

他の辺の2乗の和に等しい」というものです。しかし、このタイルで「直角三角形でピタゴラスの定理を証明した」というのは無理があります。なぜなら、これは直角二等辺三角形という、直角三角形の中でも特殊な形状をしているものだからです。

「ピタゴラスの定理」

「ピタゴラスの定理」とは、「直角三角形があるとき、その斜辺の2乗は、他の辺の2乗の和に等しい」というものです。実はピタゴラスの定理については、無数とも言えるほどの証明があります。その中でも、上のような証明が一番直感的に理解できるのではないでしょうか。

ピタゴラスの定理と無理数

先ほどのようなタイル(直角二等辺三角形)があったとき、1辺=1とすると、斜辺の長さは12+12=2となります。これは斜辺の長さをxとしたとき、x2=2となる数で、=1.41421356……という、どこまでも無限に続く「無理数」になることは、現在、よく知られています。

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著者紹介

岡部恒治(おかべ つねはる) 東京大学大学院理学研究科修了。埼玉大学経済学部教授を経て、現在、同大学名誉教授。1999年『分数ができない大学生』(共編、東洋経済新報社)で、その後の学力低下論議のきっかけをつくり、日本数学会出版賞を受賞。また、『マンガ幾何入門』『マンガ・微積分入門』(ともに講談社)など、新しい視点でまとめたベストセラー書が多数ある。 本丸 諒(ほんまる りょう) 横浜市立大学を卒業後、出版社に勤務。サイエンス分野を中心に多数のベストセラー書籍を企画・編集。独立後、編集工房シラクサを設立し、編集者&サイエンスライターの道を歩む。「理系テーマを文系向けに<超翻訳する>技術」には定評がある。著書として『統計学はじめの一歩』(かんき出版)、共著に『意味がわかる微分・積分』(ベレ出版)、『マンガでわかる幾何』(サイエンス・アイ新書)などがある。

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