①「同じ形」とはどういうことか?

「トポロジー(位相幾何学)」というと難しそうですが、本書では「位とはなにか?」「相とはなにか?」という、ごく簡単なことから説明します。
②「同相」な図形ってどんな図形?

トポロジーではよく、「コーヒーカップ」と「ドーナツ」が「同相な図形」として取り上げられます。なぜ、そうなのか解説します。
③「ケーニヒスベルクの橋」の問題

プロシア王国(現在のロシア)のケーニヒスベルクの町を流れるプレーゲル川には、このように7つの橋がかかっていました。この7つの橋を「ちょうど1回ずつ通るように」歩くことはできるでしょうか?
④「位相不変量」とは何か?

球面とトーラスが同相でないことは、直感的にわかるかもしれませんが、複雑な形の図形は、「同相でないこと」を判断するのが難しいことがあります。これを判断する「道具」が位相不変量です。「穴の数(種数)」は位相不変量の1つです。
⑤「連続写像」とはどういうものか?

たとえば歩いている場合、時刻が進めば自分がいる場所も連続的に変わります。この場合、「瞬間移動はできない」ので連続写像といえます。
⑥ひもが回収できるかできないかでわかる曲面の形

aは「回収できるひも」、b、cは「回収できないひも」です。曲面の形を「宇宙の形」と考えれば、回収できるかできないかで宇宙の形がわかるのです。