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  数学の魅力が分かります。

  5.0

  melino

  テーマとなっている理論が理解できなくても、考え方や楽しさが分かります。

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  数学のあらゆる分野と物理学の融合を観れる本

  5.0

  新訂版序文の人&KIR市民 オルイ

  数学の難問を説明するには, それなりにいくつもの分野から必要となる概念や定理を取り出して説明するだけではなく, それらを読者または聞き手が道具として認識できる程に理解しなければならない. そして著者または発表者は, 予備知識を殆んど仮定できない状況において, 非常に多くあるそれらを理解されるように説明しなければならない.本書の主題がポアンカレ予想に関する解説であると考える人もいるが,「数学ガール」というシリーズの意図と著者の意向では, 数学徒内外の多くの人にポアンカレ予想について少しでも知ってもらうように著された物語風の解説書, と考えるのが正確だろう.私も, ナビエ-ストークス方程式のミレニアム問題(流体力学の基礎となる偏微分方程式の適切な解の一意存在問題とその解の可微分性)について多変数関数の微分積分から始めて代数系や位相および測度とルベーグ積分などを必要に応じて説明し, ミレニアム問題の意味と進展まで説明しようと執筆のメモまで用意してあるが, やはり本書のように, いきなり本題に入れるのは限られた場面だけで, 最終目標に達するまでかなりの準備を要する. このミレニアム問題を自力で半分解決した研究成果の写真も参考にされたい.「単連結な3次元閉多様体は3次元球面と同相である」という主張を数学ガールのシリーズで説明できたこと自体が高く評価されるべきなのだ. 単連結という語は「穴がない」ことであるが, 厳密に表現するには, 基本群の他でも, ホモロジーやコホモロジーあるいはコーシーの積分定理の位相幾何的考察など, 進んだ数学が必要である. 物語として不自然にならないようにしつつ閉多様体の概念を述べるのも, 数学の専門書に慣れているとは限らない読者層にも配慮するとなれば, 本書にあるような説明はかなり自然な物だと思われる. 熱伝導方程式とその解の平滑化の説明がポアンカレ予想におけるリッチフロー方程式の性質の理解に役立つのは, 本書をていねいに読めばわかるはずである.まず, ケーニヒスベルクの橋渡りの問題から位相幾何の考え方を説明し, 位相空間・多様体・リーマン計量・基本群・微分方程式・ガウス曲率など幾何学において重要な概念たちを初等的に導入し, 最後にポアンカレ予想の証明の直観的意味と論理構造を説明してゆく. そしてリッチフロー方程式と式の形や解の性質が類似した(定数係数斉次線型)熱方程式の初期値問題を解説し, 再びリッチフロー方程式の考察に戻る. 厳密性よりわかりやすさを優先しているので突っ込みたくなる人もいるかもしれないが, 数学ガールシリーズの広い読者層を考えると妥当な書き方である.本書は図説がとても多く, しかも見やすい上に, 文も読みやすいだけではなく, 幾何学と代数学そして解析学が融合して, さらに物理学まで関係していく様子を, 臨場感を味わいながら楽しく学べる. また, 始めあたりのグラフ理論の話も, 当然内容の理解に必須ながら, 私はここを読んで「離散数学で使われる位相が離散位相なのか…だから冪集合が定める位相を離散位相というのか」と位相を学んで８年来の疑問が晴れた. また位相の導入では自分が普段数学を教えている時と同じことが書かれていた. やはり世の中には自分と同じことを考える人がいるのだなと感じた. 位相の説明は, 位相を実際に教える上でも役に立った.また非ユークリッド幾何学についても入り口をかなりていねいに解説しており, 多様体の計量の概念を深く理解することができた. 詳細は省くが, 或る種の複素多様体では計量が存在するか自明ではなく, その計量を未知関数とする非線型偏微分方程式の解の存在問題によって解かれる. このことを, より本質から理解したいので, 非ユークリッド幾何学の説明が最も思い出に残っている.終わりにデルタ関数という超関数が現れるのも, 超関数愛好者としてはうれしかった.幾何学のおもしろさだけではなく, 代数学と解析学と物理学のおもしろさまで楽しめつつわかる本である. 収穫は位相幾何の入門事項だけではない. ぜひゆっくりていねいに読んでみていただきたい.なお「境界のない閉多様体」の厳密な定義は「微分位相幾何学」が参考になる. (2019.1.12 加筆)私は, ポアンカレ予想を知って, また知り合いから「位相幾何でも微分形式の積分でルベーグ積分を使う」と聞いて, 位相幾何に興味を持った. その理解の第一歩となった本である.

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  数学ガールを介して著者の向学心と数学への愛情がヒシヒシと伝わってくる素敵な一冊

  5.0

  susumukuni

  結城 浩さんの「数学ガール」シリーズの第六作目『ポアンカレ予想』が刊行された。とても面白く、見事な出来栄えの書である。全体の構成とストーリーが良く練られており、かなりの数学の経験者でも「なるほど。上手いな」と感心させられる箇所が多くある。「僕」と「数学ガール」（特にミルカさん、テトラちゃん）との対話の中に、数学好きのハートを鷲づかみにする「殺し文句」が埋め込まれており、とても嬉しい気分にさせられる。高校までの教育でユークリッド幾何に親しんだ私たちは、空間の形やその計量（2点間の距離）は天与のものと思い込みがちだが、それらは人（数学研究者）によって定義されるものなのである。写像の連続性に位相（空間の開集合の全体）の導入が必要なこと、位相多様体（位相空間で局所ユークリッドであるもの）を同相写像で類別し、それらを分類することが位相幾何学の大きな目標であること、非ユークリッド幾何学の発見が2次元閉多様体の幾何構造やリーマン計量の導入への契機となったこと、などが本書の前半で明確に語られている。3次元ポアンカレ予想の解決を語るには、3次元球面、位相空間の基本群、ハミルトン-ペレルマンによるリッチフロー、などの説明が必要になるが、これらについても本書の後半で非常に分かり易く解説されている。第5章で「3次元球面は二つの3次元球体をそれらの境界である2次元球面で貼り合わせたもの」であることが視覚的に語られているが、「任意の3次元閉多様体は、二つの種数の等しいソリッドトーラスをそれらの境界で貼り合わせて得られる」という「へーゴード分解」の種数0のケースに当たることに注意したい。リッチフローはリーマン計量に関する熱方程式（発展方程式）として表示されるが、第7章「微分方程式のぬくもり」と第9章「ひらめきと腕力」の準備の周到さ、展開の面白さに感心する。1次元の熱方程式を変数分離すると、時間変数から指数関数が、空間変数から三角関数が得られることは良く知られているが、本書では三角関数の直交性を示して、関数のフーリエ展開やラプラス積分の話題に繋げている所が素晴らしい。特に、偶関数であるx^2をa+b(cosx)で近似し、そのL2ノルムを最小にするa,bを求める問題（問題9-2。305頁）に関わる「腕力」と「ひらめき」の解説は本書の白眉といえる。フーリエ係数に関するベッセルの不等式（パーセヴァルの等式）をご存知の方は、この問題の解(a,b)はx^2のフーリエ係数（a0,a1）に一致することに気付かれるだろう【注： a1は308頁の最初の定積分で求められている。x^2のフーリエ展開は331頁に述べられているが、数学が得意な方はぜひ確認して頂きたいと思う】。本書の対話の中で共鳴し共感を覚え、下線を引いた箇所を幾つか抜き出してみたい（☆を付けたものが特にハートを揺さぶられた「殺し文句」）。☆-「学ぶことは素敵で、おもしろくて、楽しくて、美しくて、感動があると知りました。ですから、その感動を他の人にも伝えたいと思ったんです」（pp.193-194）-「自分の《理解の最前線》を先に進めるため、自然な質問を繰り出しているのだ」（p.246）-「いえ、《当たり前のことから始めるのは良いこと》ですから」（p.275）-「彼女がさまざまなことに詳しいのは、学んでいるからだ。当たり前じゃないか」（p.277）☆-「そして、そこには、他者の活動に対する敬意があると思います。…　そもそも、問題を解いて終わりにせず、論文を残すというのも他者のためです。《数学は時代を越える》と言いますが、時を越える数学を支えているのは、多くの数学者たちの協力にほかならないと思うんです」（p.351）☆-「でもいつか、アリアドネの糸をたぐっていきましょう! いつか、いっしょに行きましょうね。無限の未来へ向けて! インフィニティ!」（p.376。テトラちゃん、なんと可愛いことを言って下さるのでしょう!）こんなに素直で豊かな感受性を持つ「数学ガール」たちが近くで会話していたら、きっと聞き耳を立て、その会話の輪に加わってみたいと思うだろうな、ととても楽しい気分にさせられる。著者である結城さんの向学心と数学への愛情がヒシヒシと伝わってくるお薦めの一冊である。【付記】本書を読みながら、この本も面白い読み物で数学が好きな読者の方々に薦められるのでは、と心に浮かんだものを幾つか挙げてみたい。小針あき宏『すべての人に数学を 対話・現代数学入門』、野口宏『エキゾチックな球面』、松本幸夫『トポロジーへの誘い』、本間龍雄『ポアンカレ予想物語』、宮岡礼子『現代幾何学への招待』【追記： 2018.4.19】本書の第8章でガウスの「驚異の定理」、即ち曲面のガウス曲率が内在的な量であることに言及されている。曲率がそのリーマン計量（第一基本形式）で規定されるという発見は「微分幾何学の発展の基となる極めて重大な発見であった」ことをぜひ認識しておきたい。曲面の微分幾何学の入門書として、小林昭七『曲線と曲面の微分幾何』と梅原雅顕・山田光太郎『曲線と曲面』の二冊が優れていると思う。後者ではガウス曲率を第一基本量（E,F,G）で表示するガウスの公式の証明にまで及んでいる。微分幾何学は多様体上の微分積分学であるから、その第一歩として（曲線と）曲面の微分幾何学の基礎を習得することの重要性は言を俟たない。純真なテトラちゃんなら、一般論に対し具体的な特殊論の位置を占める「曲面の微分幾何から始めるのは良いことです」と頷いてくれることだろう。曲面論に限っても、平均曲率一定曲面の理論や界面現象に現れる動く曲面の理論など、興味深い理論が多くあり奥がとても深い。小林昭七先生の書の「あとがき」に記されている印象に残る文章を引用させて頂きたいと思う。「このような微分幾何の成功の元を質すとき、それがGaussとRiemannの曲率の概念にあることを知り、あらためて、この2人の数学者の偉大さを理解するわけである」

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  galoisbaobab

  位相空間？なにそれ美味しいの？って人は必読。しかしテーマはポアンカレ予想！リッチフロー方程式をマジで解説されてたらきっと死んでたけど、熱伝導方程式との類似性で解説されるとわかった気になる自分がコワいw(わかってないんだぞ＞オレ）読み物紹介でボクの大好きな「トポロジカル宇宙」が真っ先に挙げられていてなんか嬉しい気分になる勘違いw 大学の教養課程で「数学ガール」という授業を必須にしてほしい。 続きを読む▼

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  おりぜる@新書等の積読あと500冊！

  面白かった。トポロジーと「お友達」にはなれなかったけど、知り合いくらいにはなれたかな？ 次は本格的な本で学ぼうと思う。 ▼主題がポアンカレ予想になってるけど、あまり肉薄できていないので、ちょっと物足りなかったかも。さすがにポアンカレ予想をこういう本で扱うには、前提となる概念がありすぎてページ数的に無理だったのかな…？ ▼ポアンカレ予想の、数学的に正確な命題を知ることができたし、証明の概略も分かったので、あとで本格的に学ぶときの足がかりは得た気がする。 続きを読む▼

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  kouki_0524

  ポアンカレ予想についての本作は、題材が難解なため、核心部分に踏み込むところまでは行っていない。（ミルカさんをもってしても難しかった） しかし、この問題の解決にどのような数学的が道具が導入されているかが丁寧に解説してある。この問題を扱った本や番組などが、対象の多様体を2次元的に説明しているのは前から気になっていたが、少なくともそれが簡略した解説であることはこの本で十分に理解でき、それだけでも価値がある。 それにしてもテトラちゃんの成長は目ざましい。会話が理系の学生なみになっている。 続きを読む▼

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